【題目】已知點在平行于軸的直線上,且與軸的交點為,動點滿足平行于軸,且.
(1)求出點的軌跡方程.
(2)設點,,求的最小值,并寫出此時點的坐標.
(3)過點的直線與點的軌跡交于.兩點,求證.兩點的橫坐標乘積為定值.
【答案】(1)點的軌跡方程為;(2)最小值為7,點坐標為;(3)證明見解析
【解析】
(1)設出點坐標,由此求出點坐標,利用則列方程,化簡后求得點的軌跡方程.
(2)由于是拋物線的焦點,根據(jù)拋物線的定義可知、、三點共線時的值最小,由點坐標和準線方程,求得最小值以及點的坐標.
(3)設出過點的直線方程,與聯(lián)立,利用韋達定理證得兩點的橫坐標乘積為定值.
(1)設動點,則由已知有,
故,,
因為,所以,
所以,
即:.
(2)由題意,點為拋物線的焦點,故即為點到準線的距離,
所以、、三點共線時的值最小,
即為點到準線的距離, 所以最小值為7,
此時點的縱坐標為點的縱坐標,代入,,
所以所求最小值為7,此時點的坐標為.
(3)由題意可設點.過點的直線為與聯(lián)立得:
,
所以,
所以 ,
所以.兩點的橫坐標乘積為定值.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,離心率為,過的直線與橢圓交于兩點,且的周長為
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓分別交于兩點,且,試問點到直線的距離是否為定值,證明你的結論.
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【題目】數(shù)列{n}中1=3,已知點(n,n+1)在直線y=x+2上,
(1)求數(shù)列{n}的通項公式;
(2)若bn=n3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】共享單車給市民出行帶來了諸多便利,某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用.據(jù)市場分析,每輛單車的營運累計收入 (單位:元)與營運天數(shù)滿足.
(1)要使營運累計收入高于800元,求營運天數(shù)的取值范圍;
(2)每輛單車營運多少天時,才能使每天的平均營運收入最大?
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【題目】已知拋物線:.
(1)若直線經(jīng)過拋物線的焦點,求拋物線的準線方程;
(2)若斜率為-1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,且與拋物線交于,兩點,當時,求拋物線的方程.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,
(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)設點,曲線與曲線交于兩點,求的值.
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