Question

14．如圖，已知幾何體的底面ABCD 為正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，
PD=AD=2EC，EC∥PD．
（Ⅰ）求異面直線BD與AE所成角：
（Ⅱ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅲ）判斷平面PAD與平面PAE是否垂直？若垂直，請(qǐng)加以證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明出EC⊥平面ABCD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BD⊥平面AEC，進(jìn)而推斷出BD⊥AE，可知直線所成的角為90°．
（Ⅱ）先利用面面平行的判定定理證明出平面BCE∥平面PAD，進(jìn)而證明出線面平行．
（Ⅲ）先假設(shè)垂直，作PA中點(diǎn)F，連結(jié)DF，證明出DF⊥PA和DF⊥PE，利用線面垂直的判定定理證明出CD⊥平面PAD和DF⊥平面PDCE，確定∠PDF的值．

解答 解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD為正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC?平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴異面直線BD與AE所成角的為90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD為正方形，
∴BC∥AD，
∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC?平面PAD，PD?平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC?平面BCE，BC?平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE?平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ） 假設(shè)平面PAD與平面PAE垂直，作PA中點(diǎn)F，連結(jié)DF，
∵PD⊥平面ABCD，AD CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
∵PD=AD，F(xiàn)是PA的中點(diǎn)，
∴DF⊥PA，
∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF?平面PAD，
∴DF⊥平面PAE，
∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又DF?平面PAD，
∴DF⊥CD，
∵PD=2EC，EC∥PD，
∴PE與CD相交，
∴DF⊥平面PDCE，
∴DF⊥PD，
這與∠PDF=45°矛盾，
∴假設(shè)不成立即平面PAD與平面PAE不垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生推理能力和空間思維能力．