Question

6．甲、乙兩支籃球隊(duì)賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負(fù)，場與場之間互不影響，只要有一隊(duì)獲勝4場就結(jié)束比賽．現(xiàn)已比賽了4場，且甲籃球隊(duì)勝3場．已知甲球隊(duì)第5，6場獲勝的概率均為$\frac{3}{5}$，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求甲隊(duì)分別以4：2，4：3獲勝的概率；
（Ⅱ）設(shè)X表示決出冠軍時(shí)比賽的場數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)甲隊(duì)以4：2，4：3獲勝的事件分別為A，B，甲隊(duì)第5，6場獲勝的概率均為$\frac{3}{5}$，第7場獲勝的概率為$\frac{2}{5}$，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解了即可、
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為5，6，7，求出概率，列出隨機(jī)變量X的分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)甲隊(duì)以4：2，4：3獲勝的事件分別為A，B，
∵甲隊(duì)第5，6場獲勝的概率均為$\frac{3}{5}$，第7場獲勝的概率為$\frac{2}{5}$，
∴$P（A）=（1-\frac{3}{5}）•\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$，$P（B）={（1-\frac{3}{5}）^2}•\frac{2}{5}=\frac{8}{125}$，
∴甲隊(duì)以4：2，4：3獲勝的概率分別為$\frac{6}{25}$和$\frac{8}{125}$．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為5，6，7，
∴$P（X=5）=\frac{3}{5}$，P（X=6）=$（1-\frac{3}{5}）•\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$，P（X=7）=${（1-\frac{3}{5}）^2}•\frac{2}{5}+{（1-\frac{3}{5}）^2}•（1-\frac{2}{5}）=\frac{4}{25}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為

X	5	6	7
p	$\frac{3}{5}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{4}{25}$

$E（X）=5×\frac{3}{5}+6×\frac{6}{25}+7×\frac{4}{25}=\frac{139}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，期望的求法，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的乘法公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．