Question

9．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25．
∴1+2d+q²=9，1+4d+q⁴=25，q＞0．
解得d=2，q=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b_n=2^n-1．
（Ⅱ）$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=1+$\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{2}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-1-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴${S_n}=6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．