Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+x+2．
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）的曲線f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），代入f（x），求得切線的斜率和方程，代入點(diǎn)A（1，3），解m的方程可得m=0或1，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-x²+x+2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x+1，
可得曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3-2+1=2，
切點(diǎn)為（1，3），
即有曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-3=2（x-1），
即為2x-y+1=0；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），可得n=m³-m²+m+2，
由f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2x+1，
可得切線的斜率為3m²-2m+1，
切線的方程為y-（m³-m²+m+2）=（3m²-2m+1）（x-m），
由切線經(jīng)過點(diǎn)（1，3），可得
3-（m³-m²+m+2）=（3m²-2m+1）（1-m），
化為m（m-1）²=0，解得m=0或1．
則切線的方程為y-2=x或y-3=2（x-1），
即為y=x+2或y=2x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意在某點(diǎn)處的切線和過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．