Question

20．已知F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左焦點，A為右頂點，上下虛軸端點B、C，若FB交CA于D，且$|DF|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}|DA|$，則此雙曲線的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 求出直線FB和CA的方程，求出D的坐標，根據(jù)長度關系求出a，c的關系即可得到結論．

解答 解：由題意知F（-c，0），A（a，0），B（0，b），C（0，-b），
則FB的方程為$\frac{x}{-c}+\frac{y}$=1，
CA的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}$=1，
聯(lián)立兩個方程解得x=$\frac{2ac}{c-a}$，y=$\frac{（c+a）b}{c-a}$，
即D（$\frac{2ac}{c-a}$，$\frac{（c+a）b}{c-a}$），
∵|DF|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|DA|，
∴|DF|²=$\frac{5}{4}$|DA|²，
即[$\frac{（c+a）b}{c-a}$]²+（$\frac{2ac}{c-a}$+c）²=$\frac{5}{4}$[（$\frac{2ac}{c-a}$-a）²+$\frac{5}{4}$[$\frac{（c+a）b}{c-a}$]²，
即3c²=4a²，
則$\sqrt{3}$c=2a，
則離心率e=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查離心率的計算，求出直線方程以及D的坐標是解決本題的關鍵．運算量較大，綜合性較強．