Question

8．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=f（x）在R上恰好有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可求f（0）=0，然后設(shè)設(shè)x＜0，則-x＞0，代入已知可求f（-x0，結(jié)合奇函數(shù)f（x）=-f（-x），可求；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，只需f（x）=0在（0，+∞）有2個(gè)不同的實(shí)根即可，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值為正，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽
則f（0）=0，
設(shè)x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）-ax-1
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-ln（-x）-ax-1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）a=1時(shí)，x＞0，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
又f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞減，
在（-1，0），（0，1）遞增；
（3）∴f（x）是奇函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)，
由f（x）在R上恰好有5個(gè)零點(diǎn)，得有2個(gè)正根，2個(gè)負(fù)根，1個(gè)零根，
∴只需f（x）=0在（0，+∞）有2個(gè)不同的實(shí)根即可，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{-a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
∴f（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極大值-lna，
∴-lna＞0，0＜a＜1，
故a∈（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值，求解參數(shù)的范圍，本題有一定的難度．