Question

8．設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得F（$\frac{p}{2}$，0），設P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2p}$，y₀），要求k_OM的最大值，設y₀＞0，運用向量的加減運算可得$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OP}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OF}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6p}$+$\frac{p}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），再由直線的斜率公式，結合基本不等式，可得最大值．

解答 解：由題意可得F（$\frac{p}{2}$，0），設P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2p}$，y₀），
顯然當y₀＜0，k_OM＜0；當y₀＞0，k_OM＞0．
要求k_OM的最大值，設y₀＞0，
則$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FP}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OF}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OP}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OF}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6p}$+$\frac{p}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），
可得k_OM=$\frac{\frac{{y}_{0}}{3}}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6p}+\frac{p}{3}}$=$\frac{2}{\frac{{y}_{0}}{p}+\frac{2p}{{y}_{0}}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{{y}_{0}}{p}•\frac{2p}{{y}_{0}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當y₀²=2p²，取得等號．
故選：C．

點評 本題考查拋物線的方程及運用，考查直線的斜率的最大值，注意運用基本不等式和向量的加減運算，考查運算能力，屬于中檔題．