Question

16．已知點(diǎn)P（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）為函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$的圖象上，且a₁=1，a_n＞0
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n²•a_n+2²}的前n項(xiàng)和為S_n
①S_n；
②若對任意n∈N*，不等式S_n＜t²-3t-$\frac{13}{4}$恒成立，求正整數(shù)t的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，計算即可得到；
（2）①運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和即可得到；
②由不等式恒成立思想求得S_n的最值，注意運(yùn)用單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，解不等式，即可得到t的最小值．

解答 （1）證明：點(diǎn)P（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）為函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$的圖象上，
則$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}}$，
即有$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1，
則數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為首項(xiàng)是1，公差為1的等差數(shù)列，
$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+（n-1）=n，即為a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$；
（2）解：a_n²•a_n+2²=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
①S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
②由于S_n是正整數(shù)上的遞增數(shù)列，即有S₁≤S_n＜$\frac{3}{4}$，
對任意n∈N*，不等式S_n＜t²-3t-$\frac{13}{4}$恒成立，
即有t²-3t-$\frac{13}{4}$$≥\frac{3}{4}$，
即為t²-3t-4≥0，
解得t≥4，或t≤-1．
則正整數(shù)t的最小值為4．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，主要考查構(gòu)造數(shù)列的方法，以及裂項(xiàng)相消求和的方法，考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值問題，屬于中檔題和易錯題．