Question

設f（x）=x^a+

16

x

，a∈Z．
（1）若f（x）的圖象關于原點對稱，求a的所有可能值組成的集合A；
（2）當a=2，判斷并用定義證明函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）若f（x）的圖象關于原點對稱，則f（-x）=-f（x），可解得：x^a=-（-x）^a，可解得a為奇數(shù)．
（2）當a=2，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．設2＜x₁＜x₂，則證明f（x₂）-f（x₁）＞0即可．

解答： 解：（1）若f（x）的圖象關于原點對稱，則f（-x）=-f（x）
即有：-（x^a+

16

x

）=（-x）^a-

16

x

，可解得：x^a=-（-x）^a
所以a為奇數(shù)，故a的所有可能值組成的集合A={x|x=2n-1，n屬于正整數(shù)}．
（2）當a=2，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：∵a=2，
∴f（x）=x²+

16

x

，
∴設2＜x₁＜x₂，則有x₂-x₁＞0，x₁x₂＞4，x₂+x₁＞4，x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴f（x₂）-f（x₁）=x22+

16

x2

-x12-

16

x1

=

(x2-x1)[x1x2(x2+x1)-16]

x1x2

＞0
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題主要考察了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．