Question

7．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，則cos（α+$\frac{β}{2}$）等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{5\sqrt{3}}{9}$
• D． -$\frac{\sqrt{6}}{9}$

Answer 1

分析 由已知等式及角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$），sin（$\frac{π}{4}$+α）的值，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算求值得解．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），$\frac{π}{4}$+α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α+$\frac{β}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]=cos（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．