Question

2．求下列函數(shù)的極值：
（1）y=x³-3x²+7；
（2）y=x-ln（1+x）；
（3）y=x²e^-x．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）y=x³-3x²+7，
y′=3x²-6x=3x（x-2），
令y′＞0，解得：x＞2或x＜0，
令y′＜0，解得：0＜x＜2，
∴函數(shù)在（-∞，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴x=0時，函數(shù)取極大值7，x=2時，函數(shù)去極小值3；
（2）y′=1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x}{x+1}$，（x＞-1），
令y′＞0，解得：x＞0，令y′＜0，解得：-1＜x＜0，
∴函數(shù)在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴x=0時，函數(shù)取極小值0；
（3）y′=xe^-x（2-x），
令y′＞0，解得：0＜x＜2，
令y′＜0，解得：x＞2或x＜0，
∴函數(shù)在（-∞，0）遞減，在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
∴x=0時，函數(shù)取極小值0，x=2時，函數(shù)取極大值$\frac{4}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．