Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）周期、單調性、對稱點、對稱軸．
（2）設0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，f（3a+π）=$\frac{10}{13}$，f（3β+$\frac{5π}{2}$）=-$\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)單調性，對稱中心和對稱軸，周期的計算公式即可得到結論．
（2）根據(jù)條件求出sinα，cosα，sinβ，cosβ，利用兩角和差的正弦公式進行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}}$=6π，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得6kπ-2π≤x≤6kπ+π，即函數(shù)的遞增區(qū)間為[6kπ-2π，6kπ+π]，k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
解得6kπ+π≤x≤6kπ+$\frac{4π}{3}$，即函數(shù)的遞減區(qū)間為[6kπ+π，6kπ++$\frac{4π}{3}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
即函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，即x=-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，即函數(shù)的對稱中心為（-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0）
由$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=3kπ-$\frac{π}{2}$，即對稱點為（3kπ-$\frac{π}{2}$，0），k∈Z，
由$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，得x=3kπ+π，即對稱軸為x=3kπ+π，k∈Z．
（2）∵f（3a+π）=2sin（α+$\frac{π}{2}$）=2cosα=$\frac{10}{13}$，
∴cosα=$\frac{5}{13}$，
∵f（3β+$\frac{5π}{2}$）=2sin（β+π）=-2sinβ=-$\frac{6}{5}$，
∴sinβ=$\frac{3}{5}$，
而0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴sinα=$\frac{12}{13}$，cosβ=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{12}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）-$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{63}{65}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)求值以及三角函數(shù)的圖象和性質，利用兩角和差的正弦公式是解決本題的關鍵．