Question

20．函數(shù)f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，函數(shù)g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若對所有的x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]總存在x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)m的取值范圍是[1，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 分別求得f（x）、g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域，結(jié)合題意可得它們的值域間的包含關(guān)系，從而求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．
對于g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，mcos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{m}{2}$，m]，
∴g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]．
由于對所有的x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]總存在x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
可得[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]⊆[1，2]，
故有 3-m≤2，-$\frac{3m}{2}$+3≥1，解得實數(shù)m的取值范圍是[1，$\frac{4}{3}$]．
故答案為：$[1，\frac{4}{3}]$．

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查三角函數(shù)的性質(zhì)的運用，考查二倍角的余弦，解決問題的關(guān)鍵是理解“對所有的x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]總存在x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立”的含義，屬于難題．