Question

11．已知$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}i}}{2}$．
（1）$\bar z$是z的共軛復(fù)數(shù)，求${\bar z^2}+\bar z+1$的值；
（2）類比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，求${S_{2016}}=1+z+{z^2}+…+{z^{2015}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的乘法與加減運(yùn)算法則化簡求解即可．
（2）利用數(shù)列的求和，直接求解化簡即可．

解答 解：（1）$\overline{z}=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}i}}{2}$，${\bar z^2}+\bar z+1={（{-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}i}}{2}}）^2}-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}i}}{2}+1=0$
（2）${S_{2016}}=1+z+{z^2}+…+{z^{2015}}=\frac{{1×（{1-{z^{2016}}}）}}{1-z}$，
∵${z^3}={（{-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}i}}{2}}）^3}=1$，
∴1-z²⁰¹⁶=1-（z³）⁶⁷²=1-1=0，
∴${S_{2016}}=1+z+{z^2}+…+{z^{2015}}=\frac{{1×（{1-{z^{2016}}}）}}{1-z}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．