Question

1．設(shè)函數(shù)y=2sin²x+2acosx+2a-1的最大值是-$\frac{1}{2}$．
（1）求a的值；
（2）求y取最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值，再根據(jù)最大值為-$\frac{1}{2}$，求得a的值．
（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y取最大值時(shí)x的集合．

解答 解：（1）令t=cosx∈[-1，1]，則y=1-2t²+2acosx+2a=-2${（t-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1，
當(dāng)-1＜$\frac{a}{2}$＜1時(shí)，則y的最大值為 $\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$，求得a=-1．
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1時(shí)，y的最大值為-${（1-\frac{a}{2}）}^{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$，a無解．
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤-1時(shí)，y的最大值為-${（-1-\frac{a}{2}）}^{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$，a無解．
綜上可得，a=-1．
（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為y=-2${（t-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1=-2${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，t∈[-1 1]，
故當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為-$\frac{1}{2}$，此時(shí)，t=cosx=-$\frac{1}{2}$，∴x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
故y取最大值時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．