1.設(shè)函數(shù)y=2sin2x+2acosx+2a-1的最大值是-$\frac{1}{2}$.
(1)求a的值;
(2)求y取最大值時(shí)x的集合.

分析 (1)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡函數(shù)的解析式,再利用余弦函數(shù)的值域,二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值,再根據(jù)最大值為-$\frac{1}{2}$,求得a的值.
(2)由(1)可得函數(shù)的解析式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y取最大值時(shí)x的集合.

解答 解:(1)令t=cosx∈[-1,1],則y=1-2t2+2acosx+2a=-2${(t-\frac{a}{2})}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1,
當(dāng)-1<$\frac{a}{2}$<1時(shí),則y的最大值為 $\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$,求得a=-1.
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1時(shí),y的最大值為-${(1-\frac{a}{2})}^{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$,a無解.
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤-1時(shí),y的最大值為-${(-1-\frac{a}{2})}^{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$,a無解.
綜上可得,a=-1.
(2)由(1)可得函數(shù)的解析式為y=-2${(t-\frac{a}{2})}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1=-2${(t+\frac{1}{2})}^{2}$-$\frac{1}{2}$,t∈[-1 1],
故當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí),函數(shù)y取得最大值為-$\frac{1}{2}$,此時(shí),t=cosx=-$\frac{1}{2}$,∴x=2kπ+$\frac{2π}{3}$,或x=2kπ+$\frac{4π}{3}$,k∈Z,
故y取最大值時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+$\frac{2π}{3}$,或x=2kπ+$\frac{4π}{3}$,k∈Z}.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,余弦函數(shù)的值域,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

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