Question

3．如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．
（Ⅰ）求三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅱ）設(shè)G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接PO，證明PO⊥平面ABC，求出PO，求出底面面積，即可求解三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅱ）設(shè)G是OC的中點，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．求出平面BOE的法向量，求出$\overrightarrow{FG}$，通過數(shù)量積為0，證明直線與平面平行．

解答 解：連接PO
∵PA=PC，O為AC中點，∴PO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC交線為AC，∴PO⊥平面ABC
∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，∴BO⊥AC
∵AC=16，∴$AB=AC=8\sqrt{2}$
∵PA=PC=10∴PO=6
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{ABC}}•PO$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×8\sqrt{2}）×6$=128

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知PO⊥平面ABC，BO⊥AC
以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F(xiàn)（4，0，3），
由題意得，G（0，4，0），因$\overrightarrow{OB}$=（8，0，0），$\overrightarrow{OE}$=（0，-4，3），
因此平面BOE的法向量為：$\overrightarrow{n}$=（0，3，4），$\overrightarrow{FG}$=（-4，4，-3）
得$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FG}=0$，又直線FG不在平面BOE內(nèi)，
因此有FG∥平面BOE．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查計算能力．