Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0））的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓上的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，直線l平行于AB，與x、y軸分別交于M、N，與橢圓交于C、D，證明：△BCN與△AMD的面積相等．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切，可得$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b．又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解出即可．
（2）由于AB∥CD，要證明△BCN與△AMD的面積相等，只要證明CN=DM即可，因此只要證明線段CD與相等MN的中點(diǎn)重合，利用“點(diǎn)差法”與斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 （1）解：∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切，∴$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b．
∴b=$\sqrt{3}$．
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=1，a²=4．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：直線AB的方程為：$\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，化為y=$-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}$．
設(shè)直線l的方程為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m，
可得M$（\frac{2\sqrt{3}}{3}m，0）$，N（0，m），
∴線段MN的中點(diǎn)為P$（\frac{\sqrt{3}}{3}m，\frac{m}{2}）$．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），線段CD的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀）．
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
兩式相減可得：$\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{{y}_{0}}{3}=0$，
∴${y}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$．
∴$\frac{m}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
即線段CD與相等MN的中點(diǎn)重合，
∴CN=DM，
又AB∥CD，
∴△BCN與△AMD的面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、斜率計(jì)算公式、三角形面積計(jì)算公式、線段的中點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．