Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）AC⊥BC₁．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為O，連結(jié)OD，推導(dǎo)出OD∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面B₁CD．
（2）由CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AC，又AC⊥BC，由此能證明AC⊥BC₁．

解答 證明：（1）設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為O，連結(jié)OD，
BCC₁B₁為平行四邊形，所以O(shè)為B₁C中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D是△ABC₁的中位線，OD∥AC₁，
又因?yàn)锳C₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
所以CC₁⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁，
所以AC⊥BC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．