Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=PA=1，E為側(cè)棱PA上的點(diǎn)，$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PA}$（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）證明：BD⊥CE；
（Ⅱ）當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，求兩面角A-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，通過ABCD為正方形、PA⊥底面ABCD及線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，利用CE?平面PAC即得結(jié)論；
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則所求值即為平面DCE的法向量與平面ACE的法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AC，∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵E為側(cè)棱PA上的點(diǎn)，∴CE?平面PAC，
∴BD⊥CE；
（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∵λ=$\frac{1}{3}$，PA=1，$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PA}$，∴AE=$\frac{2}{3}$，
∴E（0，0，$\frac{2}{3}$），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
∴$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-1，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-1，1，0），
設(shè)平面DCE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=3，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，3），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-1，1，0）是平面ACE的法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{26}}{13}$，
∴二面角A-CE-D的余弦值為$\frac{\sqrt{26}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中線線之間的位置關(guān)系，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．