Question

18．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，P為拋物線C上的動點，點Q（0，-1），則$\frac{|PF|}{|PQ|}$的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則$\frac{|PF|}{|PQ|}$=$\frac{|PM|}{|PQ|}$=sin∠PQM，故當(dāng)PQ和拋物線相切時，$\frac{|PF|}{|PQ|}$最小．再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點的坐標(biāo)，從而求得$\frac{|PF|}{|PQ|}$的最小值．

解答 解：由題意可得，焦點F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1．
過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，
則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
則$\frac{|PF|}{|PQ|}$=$\frac{|PM|}{|PQ|}$=sin∠PQM，∠PQM為銳角．
故當(dāng)∠PQM最小時，$\frac{|PF|}{|PQ|}$最小，
故當(dāng)PQ和拋物線相切時，$\frac{|PF|}{|PQ|}$最�。�
設(shè)切點P（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），則PQ的斜率為$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+1}{a}$，
又（$\frac{{x}^{2}}{4}$）′=$\frac{1}{2}$x，即有切線的斜率為$\frac{1}{2}$a，
由$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$a，解得a=±2，可得P（±2，1），
∴|PM|=2，|PQ|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
即有sin∠PQM=$\frac{|PM|}{|PQ|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．