Question

7．設(shè)p：實數(shù)x滿足x²-9x+14≤0；q：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 p：利用一元二次不等式的解法可得：2≤x≤7；q：由于a＞0，解得a＜x＜3a．
（1）若a=1，則q化為：1＜x＜3，由于p∧q為真求其交集即可得出；
（2）若q是p的充分不必要條件，則$\left\{\begin{array}{l}{2≤a}\\{3a≤7}\end{array}\right.$，且等號不能同時成立，解出即可得出．

解答 解：p：實數(shù)x滿足x²-9x+14≤0，解得2≤x≤7；q：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．
（1）若a=1，則q化為：1＜x＜3，由于p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{2≤x≤7}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2≤x＜3．
∴實數(shù)x的取值范圍是[2，3）．
（2）若q是p的充分不必要條件，則$\left\{\begin{array}{l}{2≤a}\\{3a≤7}\end{array}\right.$，且等號不能同時成立，可得$2≤a≤\frac{7}{3}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$[2，\frac{7}{3}]$．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．