分析 (1)解關(guān)于a,b的方程組,求出a,b的值從而求出函數(shù)的解析式即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t≤2${(\frac{1}{{3}^{x}})}^{2}$-2$(\frac{1}{{3}^{x}})$+1=2${(\frac{1}{{3}^{x}}-\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$在x∈[0,2]上有解,通過(guò)換元法求出t的范圍即可.
解答 解:(1)由f(x)=a(x-1)2+b-a(a>0)及條件,可得$\left\{\begin{array}{l}f(3)=3a+b=5\\ f(1)\;\;=b-a=1\end{array}\right.$,…(3分)
解得 a=1,b=2.故f(x)=x2-2x+2…(6分)
(2)由(1)可得g(x)=$\frac{f(x)}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2,
于是題設(shè)條件得3x+$\frac{2}{{3}^{x}}$-2-t•3x≥0在x∈[0,2]上有解,…(8分)
即t≤2${(\frac{1}{{3}^{x}})}^{2}$-2$(\frac{1}{{3}^{x}})$+1=2${(\frac{1}{{3}^{x}}-\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$在x∈[0,2]上有解,…(10分)
令$\frac{1}{{3}^{x}}$=u∈[$\frac{1}{9}$,1],∵x∈[0,2],
則t≤2${(u-\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$在u∈[$\frac{1}{9}$,1]上有解…(12分)
當(dāng)u∈[$\frac{1}{9}$,1]時(shí),2${(u-\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$,1],于是t≤1,
因此,實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,1].…(14分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查換元思想,是一道中檔題.
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | 7 | B. | 6 | C. | 5 | D. | 4 |
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A. | (4,+∞) | B. | [4,+∞) | C. | (-∞,4] | D. | (-∞,4) |
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