Question

3．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），橢圓的上頂點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=0．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）若以點(diǎn)N（0，2）為圓心，且與橢圓C有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為$\sqrt{26}$．
（ⅰ）求此時(shí)橢圓C的方程；
（ⅱ）橢圓C上是否存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y=kx-1（k≠0）對(duì)稱，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=0，得到b=c，由此能求出橢圓C的離心率．
（Ⅱ）①由設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．設(shè)P（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，|PN|的最大值為$\sqrt{26}$，則|PN|²=x²+（y-2）²=-（y+2）²+2b²+8（-b≤y≤b）．由此能求出橢圓方程．
②設(shè)直線AB的方程為x=-ky+m，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=18\\ x=-ky+m\end{array}\right.$，得：（k²+2）y²-2kmy+m²-18=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓性質(zhì)，能求出k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=（c，b）•（-c，b）=-c²+b²=0，
∴b=c，從而a=$\sqrt{2}$c，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．                    …（3分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
設(shè)P（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，依題意，|PN|的最大值為$\sqrt{26}$，
則|PN|²=x²+（y-2）²=（2b²-2y²）+（y-2）²=-（y+2）²+2b²+8（-b≤y≤b）．
（�。┤鬮≥2，則y=-2時(shí)，|PN|_max=$\sqrt{2{b^2}+8}$=$\sqrt{26}$，
∴b=3，此時(shí)橢圓方程為$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．           …（7分）
（ⅱ）若0＜b＜2，則y=-b時(shí)，|PN|_max=b+2=$\sqrt{26}$，
∴b=$\sqrt{26}$-2＞2，矛盾．
綜上得橢圓方程為$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．                  …（9分）
②設(shè)直線AB的方程為x=-ky+m，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=18\\ x=-ky+m\end{array}\right.$
化簡(jiǎn)得：（k²+2）y²-2kmy+m²-18=0，
由△=4k²m²-4（k²+2）（m²-18）＞0，解得：9k²-m²+18＞0．
由韋達(dá)定理得：y_A+y_B=$\frac{2km}{{{k^2}+2}}$，
可求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2m}{{{k^2}+2}}$，$\frac{km}{{{k^2}+2}}$），
代入直線y=kx-1得$\frac{km}{{{k^2}+2}}$=$\frac{2km}{{{k^2}+2}}$-1，求得m=$\frac{{{k^2}+2}}{k}$，
代入9k²-m²+18＞0得9k²-${（{\frac{{{k^2}+2}}{k}}）^2}$+18＞0，
解得k∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓離心率的求法，考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線的斜率是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．