Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+1，其中a為實(shí)常數(shù)，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有最小值，并設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍，問題轉(zhuǎn)化為求出g（a）的最大值，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，
當(dāng)a=e時(shí)，f'（x）=e^x-e，
令f'（x）=0解得x=1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1），遞增區(qū)間是（1，+∞）；
（2）證明：f'（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，可知f'（x）=e^x-a≥0恒成立，
所以f（x）在R上單調(diào)遞增，無最小值；
②當(dāng)a＞0時(shí)令f'（x）=0，解得x=lna，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，
∴g（a）=f_min（x）=f（lna）=a-alna+1，
要證明g（a）≤2，則只需證明g_max（a）≤2，
而g'（a）=-lna，令g'（a）=0，解得a=1，
令g′（a）＞0，解得：a＜1，令g′（a）＜0，解得：a＞1，
∴g_max（a）=g（1）=2≤2成立，
∴g（a）≤2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．