Question

20．已知有窮數列：${a_1}，{a_2}，{a_3}，…，{a_k}\;（k∈{N^*}，k≥3）$的各項均為正數，且滿足條件：
①a₁=a_k；②${a_n}+\frac{2}{a_n}=2{a_{n+1}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}\;\;（n=1，2，3，…，k-1）$．
（Ⅰ）若k=3，a₁=2，求出這個數列；
（Ⅱ）若k=4，求a₁的所有取值的集合；
（Ⅲ）若k是偶數，求a₁的最大值（用k表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∵k=3，a₁=2，由①知a₃=2；由②知，$2{a_2}+\frac{1}{a_2}={a_1}+\frac{2}{a_1}=3$，整理得，a₂．即可得出a₃．
（II）若k=4，由①知a₄=a₁．由于${a_n}+\frac{2}{a_n}=2{a_{n+1}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}\;\;（n=1，2，3）$，解得${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$或${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}\;（n=1，2，3）$．分類討論即可得出．
（Ⅲ）依題意，設k=2m，m∈N^*，m≥2．由（ II）知，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$或${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}\;（n=1，2，3，…2m-1）$．假設從a₁到a_2m恰用了i次遞推關系${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}$，用了2m-1-i次遞推關系${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$，則有${a_{2m}}={（\frac{1}{2}）^t}•{a_1}^{{{（-1）}^i}}$，其中|t|≤2m-1-i，t∈Z．對i分類討論即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵k=3，a₁=2，由①知a₃=2；
由②知，$2{a_2}+\frac{1}{a_2}={a_1}+\frac{2}{a_1}=3$，整理得，$2{a_2}^2-3{a_2}+1=0$．解得，a₂=1或${a_2}=\frac{1}{2}$．
當a₂=1時，不滿足${a_2}+\frac{2}{a_2}=2{a_3}+\frac{1}{a_3}$，舍去；
∴這個數列為$2，\frac{1}{2}，2$．
（Ⅱ）若k=4，由①知a₄=a₁．
∵${a_n}+\frac{2}{a_n}=2{a_{n+1}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}\;\;（n=1，2，3）$，
∴$（{a_n}-2{a_{n+1}}）（1-\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}）=0$．
∴${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$或${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}\;（n=1，2，3）$．
如果由a₁計算a₄沒有用到或者恰用了2次${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}$，顯然不滿足條件；
∴由a₁計算a₄只能恰好1次或者3次用到${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}$，共有下面4種情況：
（1）若${a_2}\;=\frac{1}{a_1}$，${a_3}=\frac{1}{2}{a_2}$，${a_4}=\frac{1}{2}{a_3}$，則${a_4}=\frac{1}{{4{a_1}}}={a_1}$，解得${a_1}=\frac{1}{2}$；
（2）若${a_2}\;=\frac{1}{2}{a_1}$，${a_3}=\frac{1}{a_2}$，${a_4}=\frac{1}{2}{a_3}$，則${a_4}=\frac{1}{a_1}={a_1}$，解得a₁=1；
（3）若${a_2}\;=\frac{1}{2}{a_1}$，${a_3}=\frac{1}{2}{a_2}$，${a_4}=\frac{1}{a_3}$，則${a_4}=\frac{4}{a_1}={a_1}$，解得a₁=2；
（4）若${a_2}\;=\frac{1}{a_1}$，${a_3}=\frac{1}{a_2}$，${a_4}=\frac{1}{a_3}$，則${a_4}=\frac{1}{a_1}={a_1}$，解得a₁=1；
綜上，a₁的所有取值的集合為$\{\frac{1}{2}，1，2\}$．
（Ⅲ）依題意，設k=2m，m∈N^*，m≥2．由（ II）知，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$或${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}\;（n=1，2，3，…2m-1）$．
假設從a₁到a_2m恰用了i次遞推關系${a_{n+1}}\;=\frac{1}{a_n}$，用了2m-1-i次遞推關系${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$，
則有${a_{2m}}={（\frac{1}{2}）^t}•{a_1}^{{{（-1）}^i}}$，其中|t|≤2m-1-i，t∈Z．
當i是偶數時，t≠0，${a_{2m}}={（\frac{1}{2}）^t}•{a_1}={a_1}$無正數解，不滿足條件；
當i是奇數時，由${a_{2m}}={（\frac{1}{2}）^t}•{a_1}^{-1}={a_1}，|t|≤2m-1-i≤2m-2$得${a_1}^2={（\frac{1}{2}）^t}≤{2^{2m-2}}$，
∴${a_1}≤{2^{m-1}}$．
又當i=1時，若${a_2}=\frac{1}{2}{a_1}，{a_3}=\frac{1}{2}{a_2}，…，{a_{2m-1}}=\frac{1}{2}{a_{2m-2}}，{a_{2m}}=\frac{1}{{{a_{2m-1}}}}$，
有${a_{2m-1}}={（\frac{1}{2}）^{2m-2}}•{a_1}$，${a_{2m}}=\frac{{{2^{2m-2}}}}{a_1}={a_1}$，即${a_1}={2^{m-1}}$．
∴a₁的最大值是2^m-1．即${a_1}={2^{\frac{k}{2}-1}}$．

點評 本題考查了遞推關系、數列的通項公式、等比數列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．