12．在邊長為a的正方形ABCD中，剪下一個扇形和一個圓，如圖所示，分別作為圓錐的側(cè)面和底面，求所圍成的圓錐的體積．

分析 根據(jù)展開圖與圓錐的對應關(guān)系列出方程組，求出圓錐的母線長，底面半徑，高，代入體積公式化簡．

解答 解：設圓錐的母線為l，底面半徑為r，則$\left\{\begin{array}{l}{l+r+\sqrt{2}r=\sqrt{2}a}\\{\frac{2πl(wèi)}{4}=2πr}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{l=\frac{4\sqrt{2}a}{5+\sqrt{2}}}\\{r=\frac{\sqrt{2}a}{5+\sqrt{2}}}\end{array}\right.$，設圓錐的高為h，則h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{15}$r．
∴V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{2\sqrt{30}π{a}^{3}}{3（5+\sqrt{2}）^{3}}$．

點評 本題考查了圓錐的展開圖，圓錐的體積，屬于基礎題，但計算較復雜．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，AC=2$\sqrt{2}$，PA=2，D是AC的中點
（I）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）設二面角A-PB-C為90°，求PA與平面PBC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-ax+4，（a＞0）$
 （1）討論函數(shù) f （x）的單調(diào)性；
（2）若對任意的a∈[1，4），都存在x0∈（2，3]使得不等式f（x0）+ea+2a＞m成立，求實數(shù)m 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知有窮數(shù)列：${a_1}，{a_2}，{a_3}，…，{a_k}\;（k∈{N^*}，k≥3）$的各項均為正數(shù)，且滿足條件：
①a1=ak；②${a_n}+\frac{2}{a_n}=2{a_{n+1}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}\;\;（n=1，2，3，…，k-1）$．
（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出這個數(shù)列；
（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；
（Ⅲ）若k是偶數(shù)，求a1的最大值（用k表示）．

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7．對任意正整數(shù)n，設an是方程x2+$\frac{x}{n}$=1的正根．求證：
（1）an+1＞an；
（2）$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．函數(shù)f（x）=|lgx|-cosx的零點的個數(shù)為（　�。�
A．3B．4C．5D．6

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4．在如圖所示的幾何體中，三棱錐D-ABC的各條棱長均為2，OA，OB，OC兩兩垂直，則下列說法正確的是（　�。�
A．OA，OB，OC的長度可以不相等B．直線OB∥平面ACD
C．直線OD與BC所成的角是45°D．直線AD與OB所成的角是45°

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知函數(shù)y=lg（ax2+x+1）
（1）若函數(shù)定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)的值域為R，求a的取值范圍．

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2．已知函數(shù)f（x）=2cos2x+$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若C為銳角，f（A+B）=0，AC=2$\sqrt{3}$，BC=3，求AB的長．

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