Question

6．太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相互統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)�圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓煌一個(gè)“太極函數(shù)”下列有關(guān)說(shuō)法中：
①對(duì)圓O：x²+y²=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sinx+1是圓O：x²+（y-1）²=1的一個(gè)太極函數(shù)；
③存在圓O，使得f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$是圓O的太極函數(shù)；
④直線（m+1）x-（2m+1）y-1=0所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓O：（x-2）²+（y-1）²=R²（R＞0）的太極函數(shù)．
所有正確說(shuō)法的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 利用新定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可．

解答 解：對(duì)①顯然錯(cuò)誤，如圖

對(duì)②，點(diǎn)（0，1）均為兩曲線的對(duì)稱中心，且f（x）=sinx+1能把圓x²+（y-1）²=1一分為二，正確；
對(duì)③，函數(shù)為奇函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$，當(dāng)x→0（x＞0）時(shí)，
f（x）→+∞，
當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→1，[f（x）＞1]，函數(shù)遞減；
當(dāng)x→0（x＜0）時(shí)，f（x）→-∞，
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-1，[f（x）＜-1]，
函數(shù)f（x）關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，有三條漸近線y=±1，x=0，
可知，函數(shù)的對(duì)稱中心為間斷點(diǎn)，故不存在圓使得滿足題干條件．③不正確；
對(duì)于④直線（m+1）x-（2m+1）y-1=0恒過定點(diǎn)（2，1）的直線，經(jīng)過圓的圓心，滿足題意．④正確；
故所有正確的是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，命題真假的判斷，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．