Question

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).

(1)求證：A1B∥平面ADC1；

(2)若AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值.

 

 

Answer 1

(1)見解析；(2)

【解析】試題分析：(1)通過“平面外的直線平行于平面內(nèi)的直線”證明線面平行；(2)通過兩平面的法向量求出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值即可.

試題解析：(Ⅰ)連接A1C，交AC1于點(diǎn)E，

則點(diǎn)E是A1C及AC1的中點(diǎn)．

連接DE，則DE∥A1B．

因?yàn)镈E?平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1． 4分

(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．

則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，

C1(0，1，2) D(，，0)，

＝(，，0)，＝(0，1，2)． 6分

設(shè)平面ADC1的法向量 m＝(x，y，z)，則

,不妨取m＝(2，－2， 1)． 9分

易得平面ABA1的一個(gè)法向量n＝＝(0，1，0)． 10分

cos<m，n>＝＝，

平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值是． 12分

考點(diǎn):空間幾何體，空間線面關(guān)系，空間向量