Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，已知a₁=1，$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=6，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前項和為T_n，求證：T_n＜2n+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系即可得出；
（II）b_n=$\frac{n+1}{n+2}$+$\frac{n+2}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+2}$+1+$\frac{1}{n+1}$=2+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，a₁=1，$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=6，
∴$3×\frac{{S}_{3}}{3}$=6，
∴$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，
∴2=1+2d，解得d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{1}{2}×（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{（n-1）n}{2}$=n．
當(dāng)n=1時也成立，
∴a_n=n．
（Ⅱ）證明：b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+1}{n+2}$+$\frac{n+2}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+2}$+1+$\frac{1}{n+1}$=2+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前項和為T_n=2n+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=2n+$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜2n+$\frac{1}{2}$，
∴T_n＜2n+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、“裂項求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．