Question

9．如圖，點C是以A，B為直徑的圓O上不與A，B重合的一個動點，S是圓O所在平面外一點，且總有SC⊥平面ABC，M是SB的中點，AB=SC=2．
（1）求證：OM⊥BC；
（2）當(dāng)四面體S-ABC的體積最大時，設(shè)直線AM與平面ABC所成的角為α，求tanα．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面SAC，BC⊥SA，OM平行于SA，可得OM⊥BC；
（2）求出四面體S-ABC的體積最大時，$AC=BC=\sqrt{2}$，取BC的中點N，連接MN，AN，則MN與SC平行，MN⊥平面ABC，則α=∠MAN，即可求tanα．

解答 （1）證明：由于C是以AB為直徑的圓上一點，故AC⊥BC
又SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又SC∩AC=C，
∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA，
∵O，M分別為AB，SB的中點，
∴OM平行于SA，
∴OM⊥BC…（6分）
（2）解：四面體S-ABC的體積$V=\frac{1}{3}SC•{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}AC•BC≤\frac{1}{6}（A{C^2}+B{C^2}）=\frac{2}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$AC=BC=\sqrt{2}$時取得最大值…（9分）
取BC的中點N，連接MN，AN，則MN與SC平行，MN⊥平面ABC，則α=∠MAN，
∴$tanα=\frac{MN}{AN}=\frac{1}{{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…（13分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四面體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．