Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²（a＞0），g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函數(shù)$φ（x）=\frac{g（x）}{f（x）}\;（x≠0）$的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若f（x），g（x）的圖象存在公共切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡$φ（x）=\frac{e^x}{{a{x^2}}}\;（x≠0）$，從而求導(dǎo)$φ'（x）=\frac{{\;{e^x}（x-2）x}}{{a\;{x^4}}}\;（a＞0，\;x≠0）$，從而由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）設(shè)f（x），g（x）的公切線l的斜率為k，且切點(diǎn)分別是$P（{x_1}，\;a{x_1}^2）$，$Q（{x_2}，\;\;{e^{x_2}}）$；從而易知k存在，從而可得k=2ax₁=${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；化簡可得${e^{x_2}}=4a{x_2}-4a$，故x₂是方程e^x-4ax+4a=0的解；再令h（x）=e^x-4ax+4a，從而求導(dǎo)h′（x）=e^x-4a，從而可判斷h（x）在（-∞，ln（4a）]上單調(diào)遞減，在[ln（4a），+∞）上單調(diào)遞增；且h（1）=e＞0；從而可得$h{（x）_{min}}=h[ln（4a）]={e^{ln（4a）}}-4aln（4a）+4a≤0$，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）∵$φ（x）=\frac{e^x}{{a{x^2}}}\;（x≠0）$，
∴$φ'（x）=\frac{{\;{e^x}（x-2）x}}{{a\;{x^4}}}\;（a＞0，\;x≠0）$，
∴φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）；
$φ{(diào)（x）_{極小值}}=φ（2）=\frac{e^2}{4a}$；
（Ⅱ）設(shè)f（x），g（x）的公切線l的斜率為k，
l與f（x），g（x）圖象的切點(diǎn)分別是$P（{x_1}，\;a{x_1}^2）$，$Q（{x_2}，\;\;{e^{x_2}}）$；
若k不存在，則l不是f（x）圖象的切線，所以k存在；
則k=2ax₁=${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；
∴x₁=2x₂-2；
∴${e^{x_2}}=4a{x_2}-4a$，
根據(jù)題意，此關(guān)于x₂的方程有解；
令h（x）=e^x-4ax+4a，
則h（x）有零點(diǎn)．
∵h(yuǎn)′（x）=e^x-4a，
∴h（x）在（-∞，ln（4a）]上單調(diào)遞減，在[ln（4a），+∞）上單調(diào)遞增．
∵h(yuǎn)（1）=e＞0，
∴h（x）有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)$h{（x）_{min}}=h[ln（4a）]={e^{ln（4a）}}-4aln（4a）+4a≤0$，
解得$a≥\frac{e^2}{4}$，
即所求a的取值范圍是$[\frac{e^2}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)算能力、思維能力和分析問題、解決問題的能力，屬于難題．