Question

17．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$＞=60°，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$夾角的大小，畫出圖形表示$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
求出|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|的值，再根據(jù)正弦定理求出三角形外接圓的直徑，即為OC的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，
如圖所示：
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
${\overrightarrow{AB}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1+1-2×（-$\frac{1}{2}$）=3，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，
由正弦定理得：
△OAB的外接圓直徑為
2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=2，
∴當(dāng)OC為直徑時(shí)，它的模最大，最大值為2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了四點(diǎn)共圓的應(yīng)用問題以及正弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．