Question

12．如圖所示：在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，O，Q分別為AB，PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=30°
（1）證明：QG∥平面PBC
（2）三棱錐G-PBC的體積為$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由O，Q分別為AB，PA的中點(diǎn)得OQ∥PB，再由G為△AOC的重心得QM∥PC，然后結(jié)合線面平行和面面平行的判定得答案；
（2）由已知求解直角三角形得△ABC的面積，設(shè)PA=a，
∵QG∥平面PBC，把三棱錐G-PBC的體積轉(zhuǎn)化為Q-PBC的體積，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為P-ABC的體積列式求解PA的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖，
連接OQ，連接并延長(zhǎng)OG交AC于點(diǎn)M，連接QM，
∵O，Q分別為AB，PA的中點(diǎn)，
∴OQ∥PB，則OQ∥平面PBC，
∵G為△AOC的重心，∴QM∥PC，則QM∥平面PBC，
又OQ∩QM=Q，∴平面PBC∥平面OQM，
∴QG∥平面PBC；
（2）解：∵AC⊥BC，∴△ACB為直角三角形，
又AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=30°，則BC=3，
設(shè)PA=a，
∵QG∥平面PBC，
∴V_G-PBC=V_Q-PBC=V_C-QPB=$\frac{1}{2}{V}_{C-PAB}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABC}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}a×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
解得：a=3．
∴PA的長(zhǎng)是3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．