Question

8．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x²+y²-4x+3=0相離，則雙曲線離心e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）
• D． （$\sqrt{2}$+1，+∞）

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x²+y²-4x+3=0相離?圓心（2，0）到漸近線的距離大于半徑r，利用點到直線的距離公式和離心率的計算公式即可得出．

解答 解：取雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0．
由圓x²+y²-4x+3=0化為（x-2）²+y²=1．圓心（2，0），半徑r=1．
∵漸近線與圓x²+y²-4x+2=0相離，∴$\frac{|2b|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$＞1化為$\frac{1}{3}$a²＜b²．
∴$\frac{4}{3}$a²＜c²．
∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 熟練掌握雙曲線的漸近線方程、直線與圓相離的性質(zhì)、點到直線的距離公式、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵．