Question

8．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)$\overrightarrow{m}$=（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b．
（Ⅰ）若sin（A+θ）=$\frac{1}{3}$，求cos（$\frac{π}{3}$-θ）的值；
（Ⅱ）若b=4，a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b．可得acosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=b，再利用余弦定理化為：b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，利用余弦定理可得A．已知sin（A+θ）=$\frac{1}{3}$=$sin（\frac{π}{6}+θ）$，利用誘導(dǎo)公式可得：cos（$\frac{π}{3}$-θ）=$sin（\frac{π}{6}+θ）$，即可得出．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，解得c．再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）$\overrightarrow{m}$=（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b．
∴acosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=b，
在△ABC中，利用余弦定理可得：$a•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=b，化為：b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
∵sin（A+θ）=$\frac{1}{3}$=$sin（\frac{π}{6}+θ）$，
∴cos（$\frac{π}{3}$-θ）=$sin（\frac{π}{6}+θ）$=$\frac{1}{3}$，
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴2²=4²+c²-2×4c$cos\frac{π}{6}$，
化為c²-4$\sqrt{3}$+12=0，解得c=2$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．