Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），過點(diǎn)F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)M（-a，0）斜率為k的直線交橢圓于點(diǎn)N，直線NO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于另一點(diǎn)P，若k∈[$\frac{1}{2}$，1]，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用橢圓性質(zhì)得c=$\sqrt{3}$，4a=8，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為x+2=my，（m=$\frac{1}{k}$），代入橢圓方程得（m²+4）y²-4my＞0，由此利用韋達(dá)定理、橢圓對(duì)稱性求出△PMN的面積，再由函數(shù)的單調(diào)性能求出△PMN的面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
過點(diǎn)F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8，
∴c=$\sqrt{3}$，4a=8，
∴a=2，b=$\sqrt{4-3}$=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由（1）得a=2，設(shè)直線AB的方程為x+2=my，（m=$\frac{1}{k}$），
代入橢圓方程得（m²+4）y²-4my＞0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{{m}^{2}+4}$，
又M（-2，0），∴N（$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），由對(duì)稱性知P（-$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，-$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），
∴△PMN的面積S=$\frac{8m}{{m}^{2}+4}$=$\frac{8}{m+\frac{4}{m}}$，
令f（m）=m+$\frac{4}{m}$，則f（m）在m∈[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)m=2，即k=$\frac{1}{2}$時(shí)，△PMN的面積取最大值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、橢圓與直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．