Question

9．過雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1 （a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F向其一條漸近線作垂線l，垂足為A，l與另一條漸近線交于B點(diǎn)，若$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FA}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，得出A為線段FB的中點(diǎn)，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對(duì)應(yīng)的傾斜角的度數(shù)，找到a，b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，
延長FA與另一條漸近線交于點(diǎn)B．所以FB⊥OA，
又因?yàn)?\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，所以A為線段FB的中點(diǎn)，
∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，
所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=3，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4⇒e=2．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，同時(shí)考查平面向量的共線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．