Question

20．如圖，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，若AA′=2AB，則異面直線AB′與BC′所成角的余弦值為（　　）

• A． 0
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{7}{10}$

Answer 1

分析 以A為原點，在平面ABC中作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB′與BC′所成角的余弦值．

解答 解：以A為原點，在平面ABC中作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AA′=2AB=2，
則A（0，0，0），B′（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），C′（0，1，2），
$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
設異面直線AB′與BC′所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}^{'}}•\overrightarrow{B{C}^{'}}|}{|\overrightarrow{A{B}^{'}}|•|\overrightarrow{B{C}^{'}}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{7}{10}$．
∴異面直線AB′與BC′所成角的余弦值為$\frac{7}{10}$．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．