Question

10．對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．已知函數(shù)g（x）=x²與h（x）=2^x-b是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實數(shù)b組成的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)G函數(shù)的定義，驗證函數(shù)g（x）是否滿足條件．即可
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行判斷求解即可．

解答 解：（1）是，理由如下：
當x∈[0，1]時，總有g(shù)（x）=x²≥0，滿足①，
當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥x₁²+x₂²=g（x₁）+g（x₂），滿足②…（4分）
（2）h（x）=2^x-b為增函數(shù)，h（x）≥h（0）=1-b≥0，
∴b≤1，
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-b≥$${2}^{{x}_{1}}$-b+${2}^{{x}_{2}}$-b，
即b≥1-（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1），
∵x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
∴0≤${2}^{{x}_{1}}$-1≤1，0≤${2}^{{x}_{2}}$-1≤1，x₁，x₂不同時等于1
∴0≤（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1）＜1；
∴0＜1-（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1）≤1，
當x₁=x₂=0時，1-（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1）的最大值為1；
∴b≥1，則b=1，
綜合上述：b∈{1}　…（12分）

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)抽象函數(shù)圖象判斷條件是否成立是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．