Question

20．在三棱錐P-ABC中，PA=a，AB=AC=$\sqrt{2}$a，∠PAB=∠PAC=45°，∠PBC=60°，設(shè)D是線段AB上異于A，B的任意一點(diǎn)，DE⊥PB于點(diǎn)E．
（1）求證：AP∥平面DEC；
（2）若D是線段AB的中點(diǎn)，求二面角E-DC-B的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理，只要判斷PA∥DE；
（2）可以判斷EB，EC，ED兩兩垂直，建立坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量夾角求平面的二面角．

解答 解：（1）△PAB中，由余弦定理得PB=a，∴PA⊥PB，
又∵DE⊥PB，∴PA∥DE，
∵PA?平面DEC，DE?平面DEC，
∴PA∥平面DEC；
（2）因?yàn)镈是線段AB的中點(diǎn)，由（1）得到DE∥AP，
所以DE⊥PB，并且E為PB的中點(diǎn)，
所以CE⊥PB，
所以PB⊥平面DEC，又PA⊥PB，PA⊥PC，
所以PA⊥平面PBC，CE?平面PBC，
所以PA⊥CE，
所以以E為原點(diǎn)，EB，EC，ED分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，
則E（0，0，0），B（$\frac{a}{2}$，0，0）C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），P（$-\frac{a}{2}$，0，0），D（0，0，$\frac{a}{2}$），A（$-\frac{a}{2}$，0，a），
則平面DEC的一個(gè)法向量為（1，0，0），設(shè)平面DCB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{DC}=（0，\frac{\sqrt{3}}{2}a，-\frac{a}{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（\frac{a}{2}，0，-\frac{a}{2}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}ay-\frac{az}{2}=0}\\{\frac{ax}{2}-\frac{az}{2}=0}\end{array}\right.$，令x=z=1，則$\overrightarrow{n}=（1，\frac{\sqrt{3}}{3}，1）$，
所以cosθ=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+1}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以二面角E-DC-B的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定定理的運(yùn)用以及利用空間向量求二面角的平面角；屬于中檔題．