Question

8．已知曲線y=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$（x∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）在x=-1處的切線和它在x=x₀（x₀≠0）處的切線互相垂直，設x₀∈（$\frac{m}{4}$，$\frac{m+1}{4}$），m是整數(shù)，則m=2．

Answer 1

分析 求出x＜0的函數(shù)的導數(shù)，可得在x=-1處的切線斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得在x=x₀（x₀≠0）處的切線斜率，求出x＞0的函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，構造函數(shù)g（t）=te^t-$\frac{1}{2}$，求出導數(shù)，運用零點存在定理，即可判斷m=2．

解答 解：當x＜0時，y=-$\frac{x}{{e}^{x}}$的導數(shù)為y′=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
可得在x=-1處的切線斜率為-2e，
由在x=-1處的切線和它在x=x₀（x₀≠0）處的切線互相垂直，
可得在x=x₀（x₀≠0）處的切線斜率為$\frac{1}{2e}$，
即有x₀＞0，則y=$\frac{x}{{e}^{x}}$的導數(shù)為y′=-$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
即有$\frac{1-{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}$=$\frac{1}{2e}$，即（1-x₀）e^1-x₀=$\frac{1}{2}$，
設t=1-x₀，即有te^t=$\frac{1}{2}$，
令g（t）=te^t-$\frac{1}{2}$，g′（t）=（1+t）e^t，
當m=0時，x₀∈（0，$\frac{1}{4}$），t∈（$\frac{3}{4}$，1）；
當m=1時，x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），t∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
當m=2時，x₀∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），t∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
由g（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$e${\;}^{\frac{1}{4}}$-$\frac{1}{2}$＜0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$＞0，
g（$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$e${\;}^{\frac{3}{4}}$-$\frac{1}{2}$＞0，g（1）=e-$\frac{1}{2}$＞0，
且g（t）在（$\frac{1}{4}$，1）遞增，可得g（t）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）內只有一解，
故m=2成立．
故答案為：2．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及函數(shù)零點存在定理的運用，屬于中檔題．