Question

已知M是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)f（x）組成的集合，對(duì)于函數(shù)f（x），使得對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）對(duì)于集合M中的元素h（x）=k

x2+1

，x≥0，求k的取值范圍； 
（2）當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)sinx＜x都成立，是否存在實(shí)數(shù)a，使P（x）=a（2x+sinx）在x∈（

π

2

，π）上屬于集合M？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件利用導(dǎo)數(shù)解不等式即可得到結(jié)論． 
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用|P′（x）|≤1，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≤1，
即|f′（x）|≤1，
若h（x）=k

x2+1

，x≥0，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=

kx

x2+1

，
當(dāng)x=0時(shí)，h′（x）=0，滿足條件|f′（x）|≤1，
當(dāng)x＞0時(shí)，|h′（x）|=|

kx

x2+1

|≤1，
即|kx|≤

x2+1

，
則|k|≤

x2+1

|x|

=

x2+1 x2

=

1+ 1 x2

，
即|k|≤1，解得-1≤k≤1．
（2）由P（x）=a（2x+sinx）得P′（x）=a（2+cosx）
由|P′（x）|=|a（2+cosx）|≤1，
得|a|≤

1

|2+cosx|

，
∵x∈（

π

2

，π），∴-1＜cosx＜1，則1＜2+cosx＜2，
即

1

2

＜

1

|2+cosx|

＜1，
則|a|＜

1

2

，解得-

1

2

＜a＜

1

2

，
故存在實(shí)數(shù)a滿足-

1

2

＜a＜

1

2

，滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定 的難度．