7.△ABC的內(nèi)角A,B,C及所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,c=2.
(1)若cos2A-cos2B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB且a≠b,求角C的大小及a+b的取值范圍;
(2)若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=1,求△ABC面積的最大值.

分析 (1)由二倍角公式及變形、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)已知式子,結(jié)合內(nèi)角范圍和條件求出A+B的值,由內(nèi)角和定理求出C;由已知和正弦定理求出a和b,代入a+b后由兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn),由A的范圍和正弦函數(shù)的值域求出a+b的取值范圍;
(2)由$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=1和數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)后,求出abcosC=1,由余弦定理列出方程化簡(jiǎn)求出a2+b2的值,由不等式求出ab的范圍,由abcosC=1求出cosC,由平方關(guān)系求出sinC,代入三角形的面積公式化簡(jiǎn)求出答案.

解答 解:(1)∵cos2A-cos2B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB,
∴$\frac{1+cos2A}{2}$-$\frac{1+cos2B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B,
則$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B-$\frac{1}{2}$cos2B,
∴sin(2A-$\frac{π}{6}$)=sin(2B-$\frac{π}{6}$),
由a≠b得A≠B,又A+B∈(0,π),
∴2A-$\frac{π}{6}$+2B-$\frac{π}{6}$=π,即A+B=$\frac{2π}{3}$,
∴C=π-(A+B)=$\frac{π}{3}$;
由c=2和正弦定理得,
$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA,b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB,
∴a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$(sinA+sinB)=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin($\frac{2π}{3}$-A)]
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA)]
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$($\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA)=4sin(A+$\frac{π}{6}$),
由0<A<$\frac{2π}{3}$得,$\frac{π}{6}$<A+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,
∴$\frac{1}{2}$<sin(A+$\frac{π}{6}$)≤1,則2<4sin(A+$\frac{π}{6}$)≤4,即2<a+b≤4,
∴a+b的取值范圍為(2,4];
(2)∵$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=1,∴abcosC=1,
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2,
又c=2,則a2+b2=6≥2ab,得ab≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,
由abcosC=1得cosC=$\frac{1}{ab}$,
則sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{{(ab)}^{2}-1}}{ab}$,
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}\sqrt{(ab)^{2}-1}$≤$\frac{1}{2}\sqrt{9-1}$=$\sqrt{2}$,
故△ABC的面積的最大值是$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理,二倍角公式及變形、兩角和差的正弦公式等,三角形的面積公式,正弦函數(shù)的值域,以及向量的數(shù)量積運(yùn)算,不等式的應(yīng)用,考查方程思想,化簡(jiǎn)、變形能力,屬中檔題.

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(3)若C=$(\begin{array}{l}{{c}_{0}}&{{c}_{1}}&{{c}_{2}}\\{{c}_{2}}&{{c}_{0}}&{{c}_{1}}\\{{c}_{1}}&{{c}_{2}}&{{c}_{0}}\end{array})$,則稱(chēng)此矩陣為三階循環(huán)矩陣,請(qǐng)你參考(1)的計(jì)算過(guò)程證明兩個(gè)三階循環(huán)矩陣的乘積仍為三階循環(huán)矩陣.三階循環(huán)矩陣的乘法是否滿(mǎn)足交換律?如果是,請(qǐng)說(shuō)明理由,如果不是,請(qǐng)舉出反例.

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