12.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{(m+1)^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1(m>0)的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$,P是該雙曲線上的點(diǎn),P在該雙曲線兩漸近線上的射影分別是A、B,則|PA|•|PB|的值為$\frac{4}{5}$.

分析 運(yùn)用離心率公式,解方程可得m=1,求得漸近線方程,設(shè)P(s,t),可得s2-4t2=4,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,化簡整理,即可得到所求值.

解答 解:雙曲線$\frac{{x}^{2}}{(m+1)^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1(m>0)的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
可得e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{(m+1)^{2}+{m}^{2}}{(m+1)^{2}}$=$\frac{5}{4}$,
解得m=1,
即雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1,
漸近線方程為x±2y=0,
設(shè)P(s,t),可得s2-4t2=4,
由題意可得|PA|•|PB|=$\frac{|s+2t|}{\sqrt{1+4}}$•$\frac{|s-2t|}{\sqrt{1+4}}$
=$\frac{|{s}^{2}-4{t}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$.
故答案為:$\frac{4}{5}$.

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要是離心率和漸近線方程,考查點(diǎn)到直線的距離公式,化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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