分析 (Ⅰ)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=sin(2x+$\frac{π}{3}$),利用三角函數(shù)周期公式可求T,令2x+$\frac{π}{3}$=kπ,k∈Z,解得函數(shù)的對稱中心.
(Ⅱ)由范圍x∈[$\frac{π}{3}$,π],利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解函數(shù)的取值范圍.
解答 (本題滿分為13分)
解:(Ⅰ)∵f(x)=2cosxsin(x+$\frac{π}{3}$)-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=2cosx(sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$)-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin(2x+$\frac{π}{3}$),…5分
∴T=$\frac{2π}{2}$=π,…6分
∴令2x+$\frac{π}{3}$=kπ,k∈Z,解得:x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$,k∈Z,即函數(shù)的對稱中心為:($\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$,0),k∈Z…7分
(Ⅱ)∵x∈[$\frac{π}{3}$,π],
∴f(x)在區(qū)間[$\frac{π}{3}$,$\frac{7π}{12}$]單調(diào)遞增,在區(qū)間[$\frac{7π}{12}$,π]單調(diào)遞減,
∵f($\frac{π}{3}$)=sinπ=0,f($\frac{7π}{12}$)=sin$\frac{3π}{2}$=-1,f(π)=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[$\frac{π}{3}$,π]上的取值范圍為[-1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$]…13分
點評 本題值域考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,三角函數(shù)周期公式,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $[{-1,\frac{1}{2}}]$ | B. | [-1,2] | C. | $[{\frac{1}{2},2}]$ | D. | $[{\frac{1}{2},1}]$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | 16 | B. | 14 | C. | 12 | D. | 22 |
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