Question

16．當(dāng)n為正奇數(shù)時，$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$除以9的余數(shù)是7．

Answer 1

分析 由組合數(shù)的性質(zhì)知$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$=（9-1）ⁿ-1，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由組合數(shù)的性質(zhì)知：
$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$
=8ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1
=9ⁿ+${C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1）$+${C}_{n}^{2}{9}^{n-2}（-1）^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}9（-1）^{n-1}$-2
按照二項(xiàng)式定理展開，前邊的項(xiàng)都能被9整除，最后一項(xiàng)為-2，
當(dāng)n為正奇數(shù)時，$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$除以9的余數(shù)是7．
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查余數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意組合數(shù)性質(zhì)及二項(xiàng)式定理的合理運(yùn)用．