Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²+2ax-3在x∈（0，+∞）上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-$\frac{e}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
• C． （-1，0）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＜0，得：e^x＜-2a（x+1），令g（x）=e^x，h（x）=-2a（x+1），問題h（x）的斜率-2a大于過（-1，0）的g（x）的切線的斜率即可，求出切線的斜率，解關(guān)于a的不等式即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+ax²+2ax-3，
∴f′（x）=e^x+2ax+2a，
若函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值，
即f（x）在（0，+∞）先遞減再遞增，
即f′（x）在（0，+∞）先小于0，再大于0，
令f′（x）＜0，得：e^x＜-2a（x+1），
令g（x）=e^x，h（x）=-2a（x+1），
只需h（x）的斜率-2a大于過（-1，0）的g（x）的切線的斜率即可，
設(shè)切點是（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），
則切線方程是：y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$（x-a），
將（-1，0）代入切線方程得：x₀=0，
故切點是（0，1），切線的斜率是1，
只需-2a＞1即可，解得：a＜-$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及曲線的切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．