Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），再以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位，在該極坐標(biāo)系中圓C的方程為ρ=-4cosθ．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓C與直線l交于點A、B，若點M的坐標(biāo)為（-2，1），求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosθ，即ρ²=-4ρcosθ，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得圓的直角坐標(biāo)方程．
（2）直線l的普通方程為y=x+3，點M在直線l上，過點M的直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入圓方程得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosθ，即ρ²=-4ρcosθ，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得圓的直角坐標(biāo)方程式為（x+2）²+y²=4．
（2）直線l的普通方程為y=x+3，點M在直線l上，過點M的直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，
代入圓方程得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．
設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)方程分別為t₁、t₂，則${t_1}+{t_2}=-\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-3$，
于是|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=3．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．