Question

14．若函數(shù)f（x）=cosx+axsinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 確定函數(shù)$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$是偶函數(shù)，a＜0，f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上只有一個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（-x）=cos（-x）-axsin（-x）=cosx+axsinx=f（x），
∴函數(shù)$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$是偶函數(shù)，
當(dāng)a≥0時(shí)，$f（x）=cosx+axsinx＞0，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$恒成立，
函數(shù)$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$無零點(diǎn)，
當(dāng)a＜0時(shí)，$f'（x）=-sinx+asinx+axcosx=（a-1）sinx+axcosx＜0，x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴函數(shù)f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，
∵$f（0）=1＞0，f（\frac{π}{2}）=\frac{π}{2}a＜0$，∴f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上只有一個(gè)零點(diǎn)，
由f（x）是偶函數(shù)可知，函數(shù)$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$恰有兩個(gè)零點(diǎn)．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．